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《数理同源》-3-哪条路径最快?

时间:2014-03-11 17:30:29  来源:  作者:

 

2. 哪条滑梯最快?
谁都见过儿童乐园的滑梯。滑梯有各种各样的形状,孩子们从上面飞速滑下,不亦乐乎!但你是否想过:什么形状的滑梯,才能使得滑动者到达地面的时间最短呢?这实际上是一个著名的数学问题,微积分方法的出现促成了它的解决,并由此而开拓了一门与物理学紧密联系的新的数学分支:变分法和泛函分析。
 

 
别着急,且听我们慢慢道来,先从微积分建立之后,欧洲两位数学家:伯努利兄弟之争说起。
 
瑞士的伯努利家族是世界颇负盛名的科学世家,出了好几个有名的科学家,驰骋影响学界上百年。学物理的人都知道流体力学中有一个著名的伯努利定律,说的是有关不可压缩流体沿着流线的移动行为,由丹尼尔•伯努利(DanielBernoulli17001782)提出。丹尼尔的父亲和伯父则都是他们那个时代著名的数学家。
 
有意思的是,伯努利家族这几个科学家之间,相处得并不和谐。互相在科学成就上争名夺利、纠纷不断。尤为后人留下笑柄的是丹尼尔的父亲约翰•伯努利1
 
约翰•伯努利(JohannBernoulli1667-1748)和他的哥哥雅各布•伯努利(JakobI. Bernoulli1654-1705)都为微积分的发展作了杰出贡献。约翰进入巴塞尔大学时,比他大13岁的雅各布已经是数学系教授,因此,约翰向大哥学习数学。两人既是兄弟手足,又是导师和学生的关系。
 
约翰天资聪明,拜大哥为师的两年之后,数学能力就达到了与哥哥能一比高低的水平。没想到智力水平的高低并不等价于人品和修养的高低,约翰不服雅各布,雅各布却仍然将弟弟看成一个学生,两兄弟之间逐渐形成了一种不十分友好的竞争状态。约翰十分妒忌雅各布在巴塞尔大学的崇高地位,于是,无论在私底下,还是在大庭广众中,两人经常互相较劲。不过,世人可以不齿于他们互相嫉妒诋毁的人格,却不能否认他们这种竞争较劲的状态,还算有利于学术。从下面的几个例子,便是对以上说法的佐证。
 
那个时代的欧洲数学家,有一股互相出难题来挑战学术界的风气。1691年,哥哥雅各布建议数学家们研究悬链线(Catenary)问题,也就是两端固定的绳子(或链条)由于重力而自由下垂形成的曲线到底是个什么形状的问题。这个问题现在看起来简单,但在微积分和牛顿力学尚未建立以及刚刚建立的年代,却是不容易解决的。伽利略在1638年就曾经错误地猜测悬链线是抛物线,后来(1646年),17岁的少年惠更斯证明了悬链线不是抛物线。但不是抛物线,又是什么线呢?它的方程是怎么样的?当时谁也不知道答案。悬而未决的悬链线问题在等待着微积分的到来2
 

 
 1:悬链线和方程
 
雅各布收到了好几个答案,其中包括萊布尼茨、惠更斯以及他的弟弟约翰•伯努利。他们成功地用微积分解决了这个问题,证明了悬链线是如图1中所示的公式所描述的双曲余弦函数。因为这个问题的成功,骄傲自负的约翰得意非凡,认为这是他在兄弟之争中的辉煌胜利,并更加瞧不起这个他认为“愚笨”的哥哥。约翰在多年后写给朋友的一封信中,还津津有味地描述了当时掩饰不住的“赢了哥哥”的狂喜心态3
“我哥哥对此问题的努力一直都没有成功,最后却被我解决了。我不是想自夸,但我为什么要隐瞒真相呢?在我找到答案后第二天早上,狂奔到我的兄弟那儿,看到他还在为此而苦苦挣扎。他总是像伽利略那样傻想,认为悬链线可能是抛物线。我兴奋激动地告诉他,错了,错了!抛物线是代数曲线,悬链线却是一种超越曲线transcendentalcurve……”
 
其实,雅各布的数学成就并不逊色于弟弟,他活得没有弟弟长,50岁就去世了。约翰活到了80岁。雅各布短短的学术生涯中,对微积分及概率论作出很多贡献,其中最为众人所知的是“大数定律”。此外,数学中有许多以伯努利命名的术语,其中十几个都是雅各布的功劳。
 
1696年,約翰也对欧洲数学家提出了一个挑战难题,那就是著名的最速降落轨道(Brachistochrone curve)问题,也就是我们在本节开头所问的“哪条滑梯最快?”的问题。
假设AB是地面上高低不同(A不低于B)左右有别的两个点,如图2左图所示。一个没有初始速度的小球,在无摩擦力只有重力的作用下从A点滑到B点。从AB的轨道可以有很多很多,各自有不同的形状和长短,见图2中间一图。问题是:这其中的哪一条轨道,将使得小球从AB的时间最短?
 
如果问的是距离最短,大家在直观上都知道答案是直线,但现在是要你求出所花时间最短的曲线,直观就不太顶用了。有人估计约翰自己当时已经得出了这个问题的答案,而提出这个问题的目的之一是挑战牛顿,其二则是奚落自己的哥哥。奚落雅各布是约翰的嫉妒心所致,为啥又要挑战牛顿呢?原因是在牛顿与萊布尼茨对微积分发明权的争夺战上,约翰是始终坚定地站在自己的老师萊布尼茨一边的。
 
约翰原来规定答案必须在169711日之前寄出,后来在萊布尼茨的建议下,将期限延长至复活节。期限延长后,为了确保牛顿得知此事,约翰亲自将问题单独寄了一份给他。牛顿毕竟是大师,当时已经年过半百,正在繁忙于他的改铸新币的工作,自己也承认脑瓜子已经大不如年轻时机敏。但无论如何,据说牛顿在下午4点钟收到邮件后,仅仅用了一个晚上便解决了这个问题4,并且立即匿名寄给了约翰。这使约翰大为失望,因为他自己解决这个问题花费了两个星期的时间。虽然牛顿未署真名,约翰仍然猜出了是他,并且也不得不佩服地说:“我从利爪认出了雄狮!”(Irecognize the lion by his paw)。复活节时,约翰共收到五份答案:除了约翰自己和牛顿的之外,还有莱布尼兹、法国的洛必达侯爵、以及他的哥哥雅各布。
 

 
 2:最速落径问题
 
最速落径问题被视为数学史上第一个被仔细研究的变分问题,它导致了变分法的诞生,之后更开辟出泛函分析这一崭新广阔的数学领域。
变分法是什么?它和原始的微积分思想有何异同点?
 
有了微积分之后,人们学会了处理函数的极大值极小值问题。比如,当我们研究上抛物体所形成的抛物线轨道时,物体能到达的最高点便对应于抛物线的极大值。用微积分的语言来描述,极大极小值,和鞍点,都是曲线上函数y(抛出物体的高度)对自变量x(抛出物体的水平位移)的一阶导数为0的点。变分法处理的也是极值问题,不同的是,变分法的自变量不是一个变数x,而是一个变动的函数yx)。比如说在上述的最速落径问题中问的是,从AB的各种轨道(即图2中间图中的各种曲线),即各种函数yx)中,哪一条轨道能使得下滑的时间最短?在这儿,需要求极值的函数是“下滑的时间”,自变量呢,则是在端点AB固定了的所有“函数”。也就是说,变分法要解决的是“函数的函数”的极值问题。数学家们将这种“函数的函数”称为“泛函”,而变分之于泛函,便相当于微分之于函数。
 
回到当初约翰提出最速落径问题后收到的五份答案。尽管牛顿的才能使约翰沮丧,他仍然得意地认为自己的方法是所有答案中最简洁漂亮的,而认为他哥哥雅各布的方法最笨最差。牛顿等其余三人用的是微积分方法,在此不表。伯努利弟兄方法的差别何在呢?
 
约翰的答案简洁漂亮,是因为他借用了光学中费马的光程(或时间)最短原理。法国数学家费马(FermatPierrede1601-1665)是个很奇怪的学者,他是法院的法律顾问,算是个业余数学家。他的特点是不怎么发表著作,经常是只在书的边缘处写下一些草率的注记,或者是偶然地将他的发现写信告诉他的朋友。现在看来,即使是这种草率注记中的三言两语,已经使世人震撼忙碌不已,要是费马正儿八经地专门研究数学,那还了得?例如,1637年,费马在阅读《算术》一书时,曾写下注记:“将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的。关于此,我确信已发现了一种美妙的证法,可惜这里空白的地方太小,写不下……”。就是这一段短短的注记,后来被称之为“费马大定理”的猜想,就困惑了数学家们整整358年!
 
言归正传,费马研究光学时发现,光线总是按照时间最小的路线传播。这个原理,是几何光学的基础,可以从后来的惠更斯原理推导出来。事实上,费马原理现代版的更准确表述应该是:光线总是按照时间最小、或最大、或平稳点的路线传播。换言之,光线传播的经典路径是变分为0的路径。所以事实上,有关光线传播的费马原理应该算是变分法的最早例子,但在当时,人们尚未认识到这点,也没有进行详细的理论研究。
 
约翰·伯努利毕竟脑瓜子灵活,将费马原理信手拈来,把小球在重力场中的运动类比于光线在介质中的传播,导出了最速落径问题中那条费时最短的路径所满足的微分方程。这个微分方程的解,实际上就是同时代的惠更斯曾经研究过的“摆线”(沿直线滚动的圆的边界上一点的轨迹)。或者说,最速落径就是倒过来看的摆线,见图2中的右图。
 
约翰很得意地将最速落径问题中的物体类比于光线,貌似轻而易举地解决了问题,也得到了正确的答案(图3a)。用现代物理学对光的理解来审查约翰的解法,光和物体的确可以类比。但在当时,约翰的方法恐怕只能算是一种投机取巧,因为他完全没有证据来说明这种做法的正确性。
 
雅各布·伯努利的方法虽然被约翰看不上,认为太繁复,但却在繁复的推导中闪烁出新的变分思想的光辉。雅各布没有使用像现成的费马原理这类的东西,而是从重力运动下小球遵循的物理和几何规律来仔细推敲这个问题。他首先假设小球是沿着一条时间最短的路线下滑的,然后考虑:如果在某个时刻,小球的路线稍微偏离了这条时间最短的路线,走了别的什么路径的话,会发生什么情况呢(图3b)?大家可以注意到,上述雅各布的做法已经是一种变分的思想,因为他是在考虑所有微小偏离路径中使得时间最小的那个偏离。然后,雅各布用二阶导数的方法证明了,在这种情形下,为了使小球继续走时间最短的路,它的路线的微分偏离量,dxdy,应该满足的方程,就正好是摆线所满足的微分方程。
 
3:(a)约翰使用折射定律(b)雅各布用二阶导数的分析方法
 
从图3中可粗略看出,约翰简单地使用费马折射定律,雅各布用考虑二阶导数的“繁琐”方法,最后都导致了同样的公式,即图3a和图3b中间的方程,解决了最速落径问题。
简单之美的确诱人,但从上面的故事也悟出一个道理:外表简洁漂亮的未必见得正确,繁复冗长的功夫也可能并没有白费。
 
伯努利兄弟的你争我斗推动了变分法和泛函分析的发展。没过几年,哥哥雅各布就去世了。看来,约翰是过不了没有竞争对手的日子,他继而又把对雅各布的嫉妒心转移到了自己的天才儿子丹尼尔•伯努利的身上,据说他为了与儿子争夺一个奖项把丹尼尔赶出了家门,后来还窃取丹尼尔的成果据为己有。约翰与另一位数学家洛必达之间也有一段纷争,因为众所周知的“洛必达法则”,实际上是约翰·伯努利发现的。约翰曾经被洛必达以一纸合约聘请为私人数学老师,洛必达并非有意剽窃伯努利的成果,但伯努利为此久久不能释怀。更多的故事不在这儿讲,只付诸一笑。
 

 
参考资料:
 
1TheBernoulli Family, by H. Bernhard, Doubleday, Page & Company, (1938)
2Catenary- Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Catenary
3AChronicle of Mathematical People by Robert A. Nowlanhttp://www.robertnowlan.com
4D.T.Whiteside,Newton the mathematician, in Bechler, Contemporary Newtonian Research, p. 122.
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